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2023年1月 4日 (水)

構文論(syntax)と意味論(semantics)―分数同士の割り算―

構文論(syntax)と意味論(semantics)
分数同士の割り算[論理学][数学の面白さ]

 皆さんは、小学生から次のような疑問を尋ねられたらどうお答えしますか?
…………………………………………………………………………………………………………………………
「分数同士の割り算は、割る方の分母・分子をひっくり返して掛け算する」って教わったけど、
なぜそのようにして計算するの?
…………………………………………………………………………………………………………………………

 この子は「分数同士の掛け算は、分母同士・分子同士を掛け算する」ことは納得しているようです。

(ab)×(cd)(a×c)(b×d)………①

 納得している理由は、「通分」を認めているからと思われます。

(ab)×(cd){(a×d)(b×d)}×{(c×b)(d×b)}{(a×d)×(c×b)}{(b×d)×(d×b)}

{(a×d×c×b)}{(b×d×d×b)}{(a×c)×(b×d)}{(b×d)×(b×d)}(a×c)(b×d)

 

分数同士の割り算(構文論)

 (ab)(cd)(ab)×(d/c)(a×d)(b×c)………②

 上記の式②の下線部分(分子c, 分母d をひっくり返して掛け算する)が疑問となっているのです。

 「通分」を認めているのであれば、そのように説明すれば良いと思います。

…………………………………………………………………………………………………………………………
(ab)(cd){(a×d)(b×d)}{(c×b)(d×b)} 〔通分〕
{(1(b×d))×(a×d)}{(1(d×b))×(c×b)} 〔通分の逆(約分)分母と分子に同じものがある〕
(a×d)(c×b)(ab)×(dc) 〔掛け算の逆。分母同士・分子同士の掛け算は分数同士の掛け算で表せる。〕
…………………………………………………………………………………………………………………………

 このように「分数の『意味』」など考えずに「式」を変形していくだけで「証明」できます。数学とは構文論で成り立っているのです。数学に要請されることは「整合がとれている」ことと「実際に役立つ」ことだけです。おまけとして加えるとすれば「美しい(「式」になる)」ことです。 

 数学的に証明してあげたとしても、(たぶんですが)小学生は納得してくれない(「なんだかなぁ?」)でしょう。「意味」が分からないからです。

 

分数の意味

 分数(有理数=整数の比で表せる数)の「意味」は、二つ考えられます意味とは無関係に分数の計算は成り立っています)。

 一つは、数量を分けるときの単位(例えば「人」)当たりの数量を表す場合です。

例1 一升(.8㍑)の酒を5で酒盛りすると、一人当たりの飲める量は幾らか(小学生は飲めない)。
.8㍑/5人=18005 (ml/人)360 (ml/人)

 もう一つは、ある数量の全体に対する割合を表す場合です。

例2 ある自動二輪車で、満タン18㍑の15を消費して目的地まで走った。目的地までに要したガソリンの量は幾らか。
18㍑×153.6

 

分数同士の割り算(意味論)

 割る数が整数でなく分数の場合には、つぎのように意味づけられます。

 先の例1の場合を分数同士の割り算にしてみます。

一升(.8㍑)の酒を360ml(0.36)のコップに分けると何杯とれるか。 

(1810 )(3601000 )(95)(925)(95)×(259)

(9×25)(5×9)2555 (杯)

 

 先の例2の場合を分数同士の割り算にしてみます(部分と全体の割合)。

ある自動二輪車で、満タン18㍑の15を消費して目的地までの道のりの23を走った。このバイクの出発点から目的地までに要するガソリンの量は幾らか(いわゆる「燃費(㎞/㍑)」ではありません)。 

(18㍑/5){(23)×目的地までの距離}〔(答え:X㍑/目的地までの距離)はこれででる。〕

{(18×3)(5×3)}{(2×5)(3×5)} 〔通分。「/目的地までの距離」は省略。〕

{(1(5×3))×(18×3)}{(1(3×5))×(2×5)} 〔通分の逆〕

(18×3)(2×5)(18㍑/5)×(32)      〔掛け算の逆〕

〔(18㍑/5)×(32) は {(18㍑/5)2}×3と変形すれば、「目的地までの距離の2/3に要するガソリン量を1/2して、目的地までの距離の1/3に要するガソリン量を算出しておき、それを3倍すれば目的地までの距離に要するガソリンの量がでる」という意味になります。だから2/3の分母分子をひっくり返して(3/2)掛け算するのです。〕

5.4㍑(/目的地までの距離)

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