論理学

2023年1月 4日 (水)

構文論(syntax)と意味論(semantics)―分数同士の割り算―

構文論(syntax)と意味論(semantics)
分数同士の割り算[論理学][数学の面白さ]

 皆さんは、小学生から次のような疑問を尋ねられたらどうお答えしますか?
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「分数同士の割り算は、割る方の分母・分子をひっくり返して掛け算する」って教わったけど、
なぜそのようにして計算するの?
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 この子は「分数同士の掛け算は、分母同士・分子同士を掛け算する」ことは納得しているようです。

(ab)×(cd)(a×c)(b×d)………①

 納得している理由は、「通分」を認めているからと思われます。

(ab)×(cd){(a×d)(b×d)}×{(c×b)(d×b)}{(a×d)×(c×b)}{(b×d)×(d×b)}

{(a×d×c×b)}{(b×d×d×b)}{(a×c)×(b×d)}{(b×d)×(b×d)}(a×c)(b×d)

 

分数同士の割り算(構文論)

 (ab)(cd)(ab)×(d/c)(a×d)(b×c)………②

 上記の式②の下線部分(分子c, 分母d をひっくり返して掛け算する)が疑問となっているのです。

 「通分」を認めているのであれば、そのように説明すれば良いと思います。

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(ab)(cd){(a×d)(b×d)}{(c×b)(d×b)} 〔通分〕
{(1(b×d))×(a×d)}{(1(d×b))×(c×b)} 〔通分の逆(約分)分母と分子に同じものがある〕
(a×d)(c×b)(ab)×(dc) 〔掛け算の逆。分母同士・分子同士の掛け算は分数同士の掛け算で表せる。〕
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 このように「分数の『意味』」など考えずに「式」を変形していくだけで「証明」できます。数学とは構文論で成り立っているのです。数学に要請されることは「整合がとれている」ことと「実際に役立つ」ことだけです。おまけとして加えるとすれば「美しい(「式」になる)」ことです。 

 数学的に証明してあげたとしても、(たぶんですが)小学生は納得してくれない(「なんだかなぁ?」)でしょう。「意味」が分からないからです。

 

分数の意味

 分数(有理数=整数の比で表せる数)の「意味」は、二つ考えられます意味とは無関係に分数の計算は成り立っています)。

 一つは、数量を分けるときの単位(例えば「人」)当たりの数量を表す場合です。

例1 一升(.8㍑)の酒を5で酒盛りすると、一人当たりの飲める量は幾らか(小学生は飲めない)。
.8㍑/5人=18005 (ml/人)360 (ml/人)

 もう一つは、ある数量の全体に対する割合を表す場合です。

例2 ある自動二輪車で、満タン18㍑の15を消費して目的地まで走った。目的地までに要したガソリンの量は幾らか。
18㍑×153.6

 

分数同士の割り算(意味論)

 割る数が整数でなく分数の場合には、つぎのように意味づけられます。

 先の例1の場合を分数同士の割り算にしてみます。

一升(.8㍑)の酒を360ml(0.36)のコップに分けると何杯とれるか。 

(1810 )(3601000 )(95)(925)(95)×(259)

(9×25)(5×9)2555 (杯)

 

 先の例2の場合を分数同士の割り算にしてみます(部分と全体の割合)。

ある自動二輪車で、満タン18㍑の15を消費して目的地までの道のりの23を走った。このバイクの出発点から目的地までに要するガソリンの量は幾らか(いわゆる「燃費(㎞/㍑)」ではありません)。 

(18㍑/5){(23)×目的地までの距離}〔(答え:X㍑/目的地までの距離)はこれででる。〕

{(18×3)(5×3)}{(2×5)(3×5)} 〔通分。「/目的地までの距離」は省略。〕

{(1(5×3))×(18×3)}{(1(3×5))×(2×5)} 〔通分の逆〕

(18×3)(2×5)(18㍑/5)×(32)      〔掛け算の逆〕

〔(18㍑/5)×(32) は {(18㍑/5)2}×3と変形すれば、「目的地までの距離の2/3に要するガソリン量を1/2して、目的地までの距離の1/3に要するガソリン量を算出しておき、それを3倍すれば目的地までの距離に要するガソリンの量がでる」という意味になります。だから2/3の分母分子をひっくり返して(3/2)掛け算するのです。〕

5.4㍑(/目的地までの距離)

2022年6月27日 (月)

榎の実はならばなれ、木は椋の木―SyntaxとSemantics―

榎の実はならばなれ、木は椋の木
SyntaxSemantics[論理学]

 「椋」という漢字があります。訓読みは「むく」で、音読みは「リョウ」です。意味は❶椋の木(むくのき)ニレ科の落葉高木、❷椋鳥(むくどり)スズメ目ムクドリ科の鳥類、の二つです。

 ところが「小椋」はなんと読むかといえば、皆さんご存じで「おぐら」で、人姓です。歌手の小椋佳さんが有名ですね。でも、なぜ「椋(むく)」を「椋(くら)」と読むのでしょうか。ちょっと気になったのでググってみましたが、私の検索能力では「わかりません」でした。

 その検索過程で、①「(え)の実(み)はならばなれ、木は椋(むく)の木」とか、②「(むく)はなっても木は榎(えのき)」がヒットして、「①は②とも言う」とか「②は①とも言う」とかの解説がありました。

 「(え)の(み)はならばなれ、木は椋(むく)の木」には、つぎの説明がありました。
40_20220627125601
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強情で、人の意見を聞かないことのたとえ。〈新明解故事ことわざ辞典〉

★榎の木と椋木はよく似ていて間違えやすいが、椋の木だと一度言い出したら、実がなって榎の木だと気づいても、自分の間違いを正さないことから。
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 「なるほど、そういうことか」と納得しましたが、次の疑問が生じました。

榎の実はならばなれ、木は椋の木」と「椋はなっても木は榎」は同じだろうか?

 「榎の実はならばなれ、木は椋の木」は、榎の木に榎の実がなっているのに、一度言い出した「この木は椋の木だ」と間違った意見を正さないことを言っています。

 「椋(むく)はなっても木は榎(えのき)」は、椋の木に椋の実がなっているのに、一度言い出した「この木は榎の木だ」と間違った意見を正さないことを言っています。

 つまり、①の言っていることと②の言っていることは異なっている、と判断できます。これがSyntax(構文論)の立場です。

 一方、①も②もどちらも「強情で、人の意見を聞かないこと」(一度言い出した間違った意見を正さないこと)のたとえ、という意味では同じ(意味は同一)です。これがSemantics(意味論)の立場です。

  論理学はSyntax(構文論)の立場です。Syntax(構文論)は「証明論」と言ってもいいでしょう。「妥当な推論パターンに従って結論が導けた」ならば言明(命題)が「証明された」とする立場だからです。Semantics(意味論)の立場よりSyntax(構文論)の立場の方が「正しい」というのはなく、「妥当な推論パターンに従って結論が導かれているか」を調べるのがSyntax(構文論)の立場です。つまり、仮定された前提から結論を導く推論(の過程)が妥当か否かを直接検査することによって、間接的に結論の「正しい()」「正しくない()」を確認しようというのがSyntax(構文論)の立場です。つまり、①と②は異なる言明として扱おう、という立場です。ただし、榎(木と実)や椋(木と実)を記号(具体的な事物を表さないものにすれば(変項に個体名(榎や椋)を代入しなければ)、同じ形式になりますので、Syntax(構文論)の立場でも同じ言明として扱われます。

①「Eの実はならばなれ、木はM(である)」、②「M(の実)はなっても木はE(である)」(EもMも単なる記号)

「(ある木にAの木の実がなった)∧(その木はBの木である)∧(A≠B)」→丄〔矛盾〕

意味論としては「矛盾した主張を押し通す」=「強情で、人の意見を聞かない」になります。 

 なぜ「椋(むく)」を「椋(くら)」と読むのか、これをご存じの方がいらっしゃったら教えていただければありがたいです。

 ちなみに、「椋」を調べた動機は「椋神社」(秩父)からでした。
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椋神社(むくじんじゃ)は「延喜式神名帳」に掲載された武蔵国秩父郡の式内社である。同名社が秩父郡市内に5社を数え、明治政府はいずれの神社にも式内社と称することを許したという。
椋神社(埼玉県秩父市下吉田)
椋神社(埼玉県秩父郡皆野町皆野)
椋神社(埼玉県秩父郡皆野町野巻)
椋神社(埼玉県秩父市蒔田)
椋神社(埼玉県秩父市蒔田)
五所神社(埼玉県秩父市伊古田)…秩父市下吉田の椋神社を分霊したと言われている。
ここでは、埼玉県秩父市下吉田に鎮座する椋神社について記載する。
〔中略〕
概要
旧社格は県社。元は井椋(いくら五所大明神と号しており「いくらじんじゃ」が本来の呼称である。近世になり地元以外から「むくじんじゃ」と読まれることが多くなり現在の呼称になったという。例祭の際に龍勢を打ち上げる秩父吉田の龍勢は有名である。
明治17年(1884年)10月31日、秩父困民党の決起集会が行われた場所でもある。秩父事件120周年を迎えた2004年には、記念作品映画「草の乱」の撮影が行われた。

祭神
下吉田椋神社
猿田彦命
武甕槌命
経津主命
天児屋根命
比売命
中蒔田椋神社
猿田彦命
日本武尊が東征の際、光を放った矛に導かれ、井の辺のムクの木陰から猿田彦命が現れ道案内をした。矛を神体として猿田彦命を祀った。
上蒔田椋神社
大己貴命
日本武尊が東征の際、光を放ったに導かれ、井の辺のムクの木陰から大己貴命が現れ道案内をした。矛を神体として大己貴命を祀った。

由緒
社伝によれば、日本武尊が東征の折創建したという。
神殿の造立起源は和銅3年(710年)、多治比真人が籾五斗と荷前を奉ったことという。

社格
神階
椋神
貞観13年(871年)11月10日 - 從五位上[1]
永徳2年(1382年) - 從二位

近代社格制度
椋神社
明治六年 - 郷社
明治15年6月15日 - 県社
大正10年10月4日 - 神饌幣帛料供進神社
摂末社
一の鳥居左側の境内社
両神神社
本殿左側の境内社の合殿
稲荷神社、菅原神社、白鳥神社
本殿左側の境内社の合殿
神明神社、琴平神社、諏訪神社
本殿左側の境内社
若宮八幡社 - 大正5年11月13日に秩父十郎武綱の館の邸内社を合祀
〔後略〕
Wikipedia「椋神社」より)
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2020年9月 7日 (月)

sanmao知恵袋 論理学(1)―自己言及のパラドクス―

sanmao知恵袋 論理学(1)
自己言及のパラドクス[sanmao知恵袋][論理学]

 論理学に「自己言及のパラドクス」というのがあります。Wikipediaには次ようにあります。
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哲学および論理学における自己言及のパラドックス(じこげんきゅうのパラドックス)または嘘つきのパラドックスとは、「この文は偽である」という構造の文を指し、自己を含めて言及しようとすると発生するパラドックスのことである。この文に古典的な二値の真理値をあてはめようとすると矛盾が生じる(パラドックス参照)。

「この文は偽である」が真なら、それは偽だということになり、偽ならばその内容は真ということになり……というように無限に連鎖する。同様に「この文は偽である」が偽なら、それは真ということになり、真ならば内容から偽ということになり……と、この場合も無限に連鎖する。

Wikipedia「自己言及のパラドクス」より抜粋)
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 『「この文は偽である」という構造の文』を例に出した説明も無味乾燥(味気ない)です(以前からそう思っていました)。

 김치와사비キムチわさび チャンネルさんの次のYouTube動画に面白いコメントを見つけましたので紹介します。

あの日、人生が変わった/그 날, 인생이 바뀌었다

 次のコメントをお読みください。
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mrrx

福沢諭吉の言葉: 8:27  → 『世の中で一番悲しい事は、うそをつく事です』
私が自動車学校で学科の模擬試験を受けた時のある質問↓
『私はうそをついた事がありません』 〇か ✖か?
学科試験はほぼ満点だったのにこの答に 〇を選んだ私は満点を逃した。
教官に「どうして〇が間違いなのですか?」と聞いたがジッと私の目を見たあとニヤッと笑っただけでした。
若かった頃の話です。
追記
小学校の校長先生が卒業式の時に言った言葉です ↓
『正直者が損をする世の中を作ってはならない。』
当時小学6年生の私には理解出来なかった。
今なら分かる。

 

kamonegi1616

僕は小学生の時、森先生(仮名)に「僕は、嘘をついた事がないという大嘘をつきました」と言って変な褒め方をされた事を覚えていますw

 

栗とリス

安全運転検査と言うのが職業運転手だと有るけど本音で答えると最低の成績になるのでウソをつきまくる(>_<)

 

sanmao〔面白い例を見つけたうれしさに、つい書き込みました〕

@kamonegi1616 さま
「『僕は、嘘をついた事がないという大嘘をつきました』と言った僕」は正直者 〇か✖か?

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 森先生(仮名)の「変な褒め方」がどんな褒め方をされたのかは不明ですが、「僕は、嘘をついた事がないという大嘘をつきました」と言った僕(kamonegi1616さん)は正直者(嘘をついた事がない者)かどうか、というのが私のkamonegi1616さんに対する返信コメントです。

 kamonegi1616さんの「僕は、嘘をついた事がないという大嘘をつきました」というのが論理学でいう「自己言及」または「嘘つき」の「パラドックス」なのです。

 「正直者」の発言とすると、嘘をついた事がないという大嘘をついた嘘つきになりますので矛盾です。また「嘘つき」の発言とすると、嘘をついた事がないという大嘘をついたと正直にいっていることになります。「正直者」としても「嘘つき」としても矛盾が導かれます。これが「自己言及」または「嘘つき」のパラドックスと呼ばれるものです。これを「集合論」で説明しようとすると面倒なことになりますし、面白くもないので割愛しますが、生の「嘘つきのパラドックス」を見つけたうれしさを抑えきれずブログにアップした次第です。

kamonegi1616さんがどう返信してくるかには関心がありません。パラドックスに気付いてくれたらいいだけですから(薄情者です)。

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